Ecuación de continuidad

La mecánica de fluidos estudia el movimiento de líquidos y gases desde una perspectiva macroscópica, debido a esto los fluidos son considerados medios continuos. Para su estudio el espacio se divide en elementos diferenciales de volumen ΔV los cuales son pequeños comparados con el volumen total del sistema y los suficientemente grandes como para contener un enorme números de moléculas N que componen al fluido. Éstos elementos diferenciales sólo pueden tener un significado físico si se cumple que 

\[\lim_{\Delta V\rightarrow 0}\frac{\Delta N}{\Delta V}=\rho(x,y,z,t)\]

donde ρ es una función de densidad que de pende de la posición en el espacio (x,y,z) y a un tiempo t dado. Uno de los principales objetivos de estudio en esta rama de la física es el determinar el campo de velocidades v(x,y,z,t) que gobierna al sistema a estudiar. Adicionalmente, tenemos que tomar en cuenta propiedades termodinámicas que eventualmente consideraremos en nuestro estudio, como lo pueden ser la presión, la temperatura o la densidad.

Como muchos de los principios que gobiernan a la naturaleza, tenemos que plantear leyes de conservación. La primera de la que haremos mención es la de conservación de materia. Consideremos un volumen de control V0, la materia contenida en éste espacio será

\[M=\int_{V_0}dV \rho(x,y,z,t).\]

La variación en el tiempo de la cantidad de materia en dicho volumen para un volumen V0 fijo resultará en

\[\frac{dM}{dt}=\frac{d}{dt}\int _{V_0}dV \rho = \int_{V_0}dV \frac{\partial \rho}{\partial t}, \]

la variación de la densidad local con respecto al tiempo puede tener dos naturalezas: o flujo de materia hacia el elemento de volumen a través de la superficie que lo contiene S0 o a partir de reacciones químicas, por lo que 

\[\int_{V_0}dV \frac{\partial \rho}{\partial t}=-\oint_{S_0}\rho\mathbf{v}\cdot d\mathbf{n}+\int_{V_0}dV\sigma\]

donde n es un vector unitario hacia afuera de la superficie S0 y el signo menos indica que cuando hay un flujo hacia adentro de la superficie el producto punto de la integral es negativo y la densidad dentro del volumen considerado aumento, en caso contrario la corriente ρv es paralela a n y en consecuencia disminuye la densidad. La cantidad σ es el cambio de densidad de materia derivada de reacciones químicas. En consecuencia la ecuación de continuidad, luego de aplicar el teorema de Gauss se escribe como

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\rho\mathbf{v}+\sigma\]

para sistemas donde no hay ninguna reacción química σ es cero, llegando a la forma 

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0,\]

donde J = ρv es la densidad de flujo de corriente. Otra forma de escribir esta ecuación es al desarrollar el término de la divergencia de la corriente, definimos la derivada material al operador

\[\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla,\]

con esto

\[\frac{D\rho}{Dt}=-\rho\nabla\cdot\mathbf{v}+\sigma.\]

A partir de ésta ecuación observamos que la divergencia de la velocidad adquiere la funci+on de una fuente de materia.