Ecuación de Euler

Exploremos en una primera aproximación la ecuación de movimiento para un fluido simple. Consideremos toda la fuerza actuando sobre un volumen de control V0 envuelto por una superficie S0

\[\mathbf{F}_{total}=-\oint_{S_0} pd\mathbf{n}\]

donde n es un vector unitario apuntando afuera de la superficie de control por lo que esta fuerza actúa sobre la superficie y p es una función tanto de la posición (x,y,z) y de un tiempo t. Transformamos ésta integral de superficie a una integral de volumen a partir de la conocida identidad vectorial

\[\oint_{S_0}pd\mathbf{n}=\int_{V_0}dV\nabla P\]

con esto y la densidad de fuerza por unidad de volumen en cada punto del espacio

\[\mathbf{F}=\int_{V_0}dV \rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}\]

debido a que el volumen de control es completamente arbitrario podemos aislar al integrando y obtenemos la ecuación de movimiento

\[\rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}=-\nabla p\]

o bien, de la definición de derivada material obtenemos

\[\rho\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} +\rho (\mathbf{v}\cdot\nabla )\mathbf{v}=-\nabla p,\]

ésta ecuación fue derivada por primera vez en 1755 por Leonhar Euler y nos permite saber cual es la evolución temporal de cada elemento diferencial de volumen y será equivalente a la segunda ley de Newton. En el caso de que el fluido se encuentre en un campo gravitacional g, la ecuación adquiere la forma

\[\rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} +\rho(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}=-\nabla p +\rho\mathbf{g}\]

simplemente sumando término a término adicional tal y análogamente a como se hace en los diagramas de cuerpo libre, solo que ahora el análisis se hace sobre el elemento diferencial de volumen. Ésta ecuación solo es válida para fluidos ideales los cuales no toman en cuenta intercambio de calor entre los elementos diferenciales de volumen no tampoco disipación de energía como consecuencia de fricciones internas o viscosidad.

Decimos que no hay disipación de energía en el fluido cuando ocurre un proceso adiabático. En dichos procesos la entropía del sistema permanece constante (segunda ley de la termodinámica clásica de equilibrio). Sea s la entropía por unidad de volumen, entonces la derivada material de ésta cantidad será

\[\frac{Ds}{Dt}=0\]

o bien

\[\frac{\partial s}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)s.\]

Ésta ecuación es válida para fluidos ideales. Usando la ecuación de continuidad reescribimos como

\[\frac{\partial (\rho s)}{\partial t}+\nabla\cdot (\rho s \mathbf{v})=0,\]

en la cual el producto  ρsv es conocido como el vector de densidad de flujo de entropía. En un fluido ideal s es una constante.

Dado que el sistema es isoentrópico podemos reescribir la ecuación de Euler a partir de la relación termodinámica para las entalpía por unidad de masa

\[dh = T ds + Vdp\]

donde V=1/ρ y T es la temperatura del sistema. Con h constante obtenemos dh = dp/ρ por lo que la ecuación de Euler se reescribe

\[\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}=-\nabla h,\]

ahora, para terminar la discusión reescribimos ésta ecuación con la siguiente propiedad vectorial

\[\frac{1}{2}\nabla v^2=\mathbf{v}\times\nabla \mathbf{v}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\]

obteniendo finalmente

\[\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}-\mathbf{v}\times\nabla\mathbf{v}=-\nabla \left(\frac{1}{2}v^2+h\right).\]

Ésta ecuación nos permite apreciar la relación entre la suma de la energía cinética y la entalpía y el cambio de densidad como función del tiempo. Finalmente al tomar el rotacional de ésta ecuación el lado derecho es nulo y obtenemos una ecuación que sólo depende de la velocidad del fluido

\[\frac{\partial }{\partial t}(\nabla\times\mathbf{v})=\nabla\times(\mathbf{v}\times\nabla\mathbf{v}).\]

Todas y cada una de las ecuaciones de movimiento derivadas aquí se resuelven al añadir una condición de frontera, en el caso de fluidos ideales es simplemente que éste no puede penetrar las parades y que en su superficie la velocidad es cero. En el caso de un esfuerzo cortante o un objeto en movimiento la velocidad del fluido en la superficie debe ser idéntica a la del objeto.