Hidrostática

Para un fluido en reposo, la ecuación de Euler se reduce a

\[\nabla P = \rho\mathbf{g}\]

ésta ecuación describe el equilibrio mecánico de un fluido. Si no hay fuerza externa alguna sobre el fluido entonces el gradiente de P es cero, es decir, la presión es constante en cada punto del fluido.

La ecuación anterior puede integrarse de forma inmediata si la densidad es constante, es decir, no existe ningún tipo de compresión en el fluido bajo la acción de alguna fuerza externa. Tomando el eje z como el vertical tenemos

\[\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=0, \frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g\]

entonces, para P=P0 en z=h obtenemos

\[P=P_0 + \rho g(h-z).\]

Ésta ecuación suele ser utilizada en diferentes libros de texto como la componente estática de la presión en la ecuación de Bernoulli que veremos más adelante. Sin embargo, esto no se suele cumplir para masas gigantescas de líquido ni para gases, en general la densidad ρ no puede ser considerada constante,. Esto es más evidente en gases, un globo lleno de aire puede comprimirse con mucha facilidad; con la simple presión que podamos ejercer con nuestras manos comprimimos los gases encerrados con el mismo.

Para solucionar éste tipo de situaciones vamos a hacer la suposición de que el fluido no solo se encuentra en equilibrio mecánico sino que a su vez se encuentra en equilibrio térmico. Con esta fuerte suposición asumimos que la temperatura es la misma en cada punto del fluido. Podemos usar la entalpía libre de Gibbs por unidad de masa

\[d\gamma=-sdT+VdP\]

para temperatura T constante ésta relación se reduce a dɣ=VdP=dP/ρ. Con esto, la expresión para el gradiente de la presión se reescribe como

t\[\nabla \gamma = \mathbf{g},\]

de la misma forma que en el caso de un fluido incompresible, tomamos el eje z como el eje vertical, entonces reescribimos para un campo gravitacional consttante

\[\mathbf{g}=-\nabla (gz),\]

así,

\[\nabla (\gamma+gz)=0\]

por lo que ɣ-gz=constante, con esto obtenemos la energía gravitacional por unidad de masa de un fluido.

Otra forma de abordar la ecuación de Euler para un sistema en reposo es tomar a la densidad como l variable a encontrar. Con esto, podemos despejar la densidad para un sistema con aceleración de la gravedad constante y para una presión que solo es función de la altura z como

\[\rho=-\frac{1}{g}\frac{dp}{dz}.\]

Así, tanto la presión, como la densidad son funciones de la altura, en consecuencia la temperatura también lo es. Ahora, si la temperatura es diferente en distintos puntos del fluido entonces por efectos de convención el equilibrio mecánico es imposible.

Finalmente, para cantidades astronómicas de fluidos el potencial gravitacional ya no debe considerarse uniforme y obedece el potencial gravitacional de ley de gravitación Universal de Newton

\[\nabla^2\phi=4\pi G\rho\]

donde G es la constante de Gravitación de Newton. Si la aceleración de la gravedad es -∇ϕ la ecuación de Euler se reduce a 

\[\nabla P = -\rho\nabla \phi,\]

ahora, dividiendo entre la densidad y aplicando el operador gradiente obtenemos la forma general

\[\nabla\left(\frac{1}{\rho}\nabla P \right) = -4\pi G\rho.\]

En coordenadas esféricas, en caso de cuerpos que no están rotando tanto la presión como la densidad son funciones esféricamente simétricas. A éste tipo de fluidos se les llama barótropos (o barotrópicos dependiendo a quien le preguntes) y como su nombre lo indica, la ecuación de estado del sistema termina siendo una relación directa entre la presión y la densidad.