Ondas de sonido

En dinámica de gases los números de Reynolds suelen ser muy grandes (para bajos números de Reynolds el flujo suele ser laminar, en altos el flujo suele ser turbulento), es decir, las fuerzas inerciales dominan a las viscosas. La viscosidad dinámica de un gas está dada por el camino libre medio de las partículas l multiplicado por la velocidad promedio debida a la agitación térmica, el cual es del mismo orden de magnitud que la velocidad del sonido c, entonces ν~cl. Si la velocidad característica el problema u también es del orden de la velocidad del sonido c entonces el número de Reynolds se reduce a R~Lu/ν~Lu/lc, es decir, el número de Reynolds queda determinado por ratio de la longitud característica del sistema L (el cual suele ser del orden de metros) y el camino libre medio l (el cual suele ser del orden de los nanómetros) dejando un número muy alto. En consecuencia, como una primera aproximación es correcto tratar al fluido como uno ideal.

Al trabajar con un fluido ideal, una de las principales consecuencias de las ecuaciones de continuidad y de Euler. Ahora, entendemos al sonido como una perturbación en las cantidades físicas que describen a un medio continuo de la forma ρ=ρ0+δρ, P=P0+δP, v=v0+δv. Consideramos que el sistema se encuentra en reposo por lo que v0=0. Por lo que las ecuación de continuidad
\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho\delta\mathbf{v})=0\]
se reduce a
\[\frac{\partial \delta \rho}{\partial t}+\rho_0\nabla\cdot\delta\mathbf{v}=0,\]
y a su vez, la ecuación de Euler
\[\frac{\partial \delta\mathbf{v}}{\partial t}+(\delta\mathbf{v}\cdot\nabla)\delta\mathbf{v}=-\frac{1}{\rho}\nabla p\]
se reduce a
\[\frac{\partial \delta\mathbf{v}}{\partial t}=-\frac{1}{\rho_0}\nabla p,\]
donde hemos despreciado los términos cuadráticos de perturbación y el término (δv.∇)δv debido a que el cambio de velocidad en la dirección de la velocidad misma será mínima, por lo que también se considera de orden de una perturbación. Este par de ecuaciones gobiernan la dinámica de las ondas de sonido en función de la densidad, la presión y la velocidad de propagación.

Por otro lado, consideramos que es un fluido ideal por lo que los procesos involucrados en estos fluidos serán considerados adiabáticos, con esto, para una presión que depende tanto de la densidad como de la entropía s tenemos
\[\delta p=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s\delta\rho+\left(\frac{\partial p}{\partial s}\right)_\rho\delta s\]
o bien, para un proceso isentrópico
\[\delta p=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s\delta\rho\]
al sustituir en la ecuación de continuidad reducida obtenemos
\[\frac{\partial \delta p}{\partial t}+\rho_0\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s\nabla\cdot\delta\mathbf{v}=0.\]
Las ecuaciones reducidas de Euler y continuidad reducen el problema a un sistema de dos ecuaciones y dos variables. Ahora, si consideramos que la circulación es nula, es decir ∇xδv=0, entonces podemos introducir un potencial de velocidad de la forma δv=∇ϕ, con esto, deducimos a partir de la ecuación reducida de Euler que
 \[\delta p = -\rho_0\frac{\partial \phi}{\partial t}\]
y la ecuación de continuidad reducida adquiere la forma
\[\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 t}-\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s\nabla^2\phi=0.\]
Escribiendo en términos de una ecuación de onda
\[\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 t}-\nabla^2\phi=0.\]
deducimos que
\[c=\sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s}.\]
Con esto describimos la naturaleza ondulatoria del sonido en un sistema en reposo.

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